{"id":4103,"date":"2018-08-06T13:21:42","date_gmt":"2018-08-06T11:21:42","guid":{"rendered":"https:\/\/enbau-online.ch\/bauphysik\/?p=4103"},"modified":"2018-08-06T13:21:42","modified_gmt":"2018-08-06T11:21:42","slug":"9-2-selection-de-formules-mathematiques","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/enbau-online.ch\/bauphysik\/fr\/9-2-selection-de-formules-mathematiques\/","title":{"rendered":"9.2 S\u00e9lection de formules math\u00e9matiques"},"content":{"rendered":"

9.2.1 Cercle, sph\u00e8re et cylindre<\/h2>\n
<\/div>\n

9.2.2 Equation quadratique<\/h2>\n
<\/div>\n

9.2.3 Identit\u00e9s remarquables<\/h2>\n
<\/div>\n

9.2.4 Fonction lin\u00e9aire<\/h2>\n
<\/div>\n

9.2.5 Loi de puissance et fonctions puissances<\/h2>\n
<\/div>\n

9.2.6 Loi du logarithme, fonctions logarithmiques et exponentielles<\/h2>\n
<\/div>\n

9.2.7 Triangles et fonctions trigonom\u00e9triques<\/h2>\n

<\/p>\n

<\/p>\n

<\/p>\n

<\/p>\n

9.2.8 D\u00e9riv\u00e9es et int\u00e9grales<\/h2>\n
<\/div>\n

9.2.9 D\u00e9veloppements en s\u00e9ries<\/h2>\n
<\/div>\n

9.2.10 Produit vectoriel<\/h2>\n
<\/div>\n

9.2.11 Nombres complexes<\/h2>\n
<\/div>\n

9.2.12 Les mesures et leur exploitation<\/h2>\n

D\u00e9j\u00e0 dans la phase de planification des mesures, les lois de l’analyse d’erreur permettent de v\u00e9rifier comment les incertitudes\/marges d’erreur \u00a0\u2013 syst\u00e9matiques et al\u00e9atoires\u00a0\u2013 peuvent affecter les grandeurs mesur\u00e9es. Avant la mesure on doit d\u00e9cider o\u00f9, comment, \u00e0 quel prix et avec quel but les erreurs peuvent ou doivent \u00eatre r\u00e9duites voire \u00e9limin\u00e9es l\u00e0 o\u00f9 c’est possible.<\/p>\n

Erreur al\u00e9atoire<\/i><\/p>\n

Les fluctuations d’une valeur mesur\u00e9e dues \u00e0 des effets al\u00e9atoires sont d\u00e9crites comme erreurs al\u00e9atoires (en anglais: random errors). Avec de telles erreurs, les grandeurs mesur\u00e9es suivent g\u00e9n\u00e9ralement une distribution normale (distribution de Gauss).<\/p>\n

Erreur moyenne d’une grandeur mesur\u00e9e<\/i><\/p>\n

Une grandeur \u00b5<\/i> est mesur\u00e9e n<\/i> fois sous des conditions aussi identiques que possible. Les n<\/i> valeurs mesur\u00e9es x<\/i>j<\/sub> (j<\/i> =\u202f1\u2009\u2026n<\/i>) forment un \u00e9chantillon (en anglais: sample) d’un ensemble total (en anglais: population). Selon Gauss, la moyenne arithm\u00e9tique x\u2013<\/i> (en anglais: arithmetic average) est la meilleure estimation (en anglais: estimate) de l’esp\u00e9rance \u00b5<\/i> (en anglais: expectation value, aussi appel\u00e9e valeur la plus vraissemblable):<\/p>\n

<\/p>\n

L’\u00e9cart type s de l’\u00e9chantillon<\/i> (ISO: experimental standard deviation) ou son erreur moyenne vaut<\/p>\n

<\/p>\n

Il caract\u00e9rise la pr\u00e9cision de la proc\u00e9dure de mesure choisie et ne peut d\u00e8s lors pas \u00eatre am\u00e9lior\u00e9 en r\u00e9p\u00e9tant les mesures; pour cela il faudrait changer de proc\u00e9dure de mesure.<\/p>\n

Par contre, on peut diminuer l’incertitude statistique sur la valeur moyenne qui se d\u00e9nomme \u00e9cart type de la valeur moyenne s<\/i>m<\/sub> (ISO: experimental standard deviation of the mean) en r\u00e9p\u00e9tant les mesures:<\/p>\n

<\/p>\n

sm<\/sub> est une mesure de l’\u00e9cart entre l’estimation x\u2013<\/i> et l’esp\u00e9rance \u00b5<\/i>.<\/p>\n

Avec un petit nombre de mesures<\/i> on peut difficilement d\u00e9celer une distribution normale et l’estimation de l’esp\u00e9rance devient ainsi impr\u00e9cise. La qualit\u00e9 de l’estimation doit alors \u00eatre caract\u00e9ris\u00e9e par un intervalle de confiance <\/i>(en anglais: range of confidence) autour de la moyenne arithm\u00e9tique:<\/p>\n

<\/p>\n

Le \u00ab\u200afacteur de confiance\u200a\u00bb t<\/i>P<\/sub> d\u00e9pend du nombre de r\u00e9p\u00e9titions de la mesure n<\/i>w<\/sub> (nombre de mesures\u00a0N<\/i> moins nombre d’esp\u00e9rances k<\/i>) et du niveau de confiance statistique\u00a0P <\/i>d\u00e9sir\u00e9 (probabilit\u00e9 en %, que l’intervalle de confiance contienne la vraie valeur):<\/p>\n

<\/div>\n

Propagation des erreurs avec plusieurs grandeurs mesur\u00e9es <\/i><\/p>\n

Si une grandeur physique f (x<\/i>, y<\/i>, z<\/i>,\u2009\u2026) ne peut pas \u00eatre mesur\u00e9e directement mais qu’elle doit \u00eatre d\u00e9termin\u00e9e en mesurant d’autres variables x<\/i>, y<\/i>, z<\/i>,\u2009\u2026 , alors sa valeur la plus vraisemblable se calcule \u00e0 partir de la fonction appliqu\u00e9e aux valeurs moyennes des variables:<\/p>\n

<\/p>\n

L’\u00e9cart type s<\/i>\u2013f<\/sub> de la grandeur \u2013f se calcule selon la loi de propagation des incertitudes de Gauss:<\/p>\n

<\/p>\n

A l’aide des erreurs absolues ou relatives maximales <\/i>des variables, l’ordre de grandeur de l’erreur peut \u00eatre plus facilement estim\u00e9 dans une premi\u00e8re phase. Toutefois, on obtient de cette fa\u00e7on uniquement une estimation de l’erreur maximale<\/i>:<\/p>\n

<\/div>\n

Erreur syst\u00e9matique<\/i><\/p>\n

Ce genre d’erreurs de mesure (en anglais: systematic error) qui, malgr\u00e9 des conditions de mesure variables, prennent des valeurs toujours identiques \u00a0\u2013 tant en terme d’\u00e9chelle que de signe\u00a0\u2013 ne peuvent pas \u00eatre d\u00e9tect\u00e9es ni r\u00e9duites ou \u00e9limin\u00e9es par des r\u00e9p\u00e9titions. Au mieux, elles peuvent \u00eatre corrig\u00e9es en modifiant la m\u00e9thode de mesure.<\/p>\n

Quand une incertitude de mesure syst\u00e9matique coexiste avec des erreurs al\u00e9atoires, l’incertitude totale doit \u00eatre sp\u00e9cifi\u00e9e comme la somme des incertitudes correspondantes.<\/p>\n

Pour une fonction f =\u202ff (x<\/i>, y<\/i>, z<\/i>,\u2009\u2026), dont les variables sont affect\u00e9es d’erreurs syst\u00e9matiques h<\/i>j<\/sub> (j<\/i> =x<\/i>, y<\/i>, z<\/i>,\u2009\u2026), l’erreur se propage de la fa\u00e7on suivante:<\/p>\n

<\/p>\n

Contrairement aux erreurs al\u00e9atoires pour lesquelles les carr\u00e9s des contributions des grandeurs mesur\u00e9es s’additionnent comme des vecteurs orthogonaux, les erreurs syst\u00e9matiques doivent \u00eatre additionn\u00e9es alg\u00e9briquement.<\/p>\n

Ajustement par des relations fonctionnelles (analyse par r\u00e9gression)<\/i><\/p>\n

Si l’on suppose une relation lin\u00e9aire y<\/i> =\u202fax<\/i> + b<\/i> entre la variable x<\/i> et la grandeur mesur\u00e9e y<\/i>, les param\u00e8tres de la pente (a) et de la valeur initiale (b) peuvent \u00eatre d\u00e9termin\u00e9s par ajustement en employant la m\u00e9thode des moindres carr\u00e9s<\/i> (en anglais: least square):<\/p>\n

<\/div>\n

Souvent, une relation fonctionnelle non lin\u00e9aire<\/i> peut \u00eatre lin\u00e9aris\u00e9e en proc\u00e9dant \u00e0 une transformation de variables<\/i> appropri\u00e9e:<\/p>\n

    \n
  • les fonctions exponentielles par une simple repr\u00e9sentation logarithmique (y<\/i> \u2192 ln y<\/i>)<\/li>\n
  • les fonctions puissances par une double repr\u00e9sentation logarithmique (x<\/i> \u2192 log x<\/i> und y<\/i> \u2192 log y<\/i>)<\/li>\n<\/ul>\n

    Il est \u00e0 noter que les facteurs de pond\u00e9ration g<\/i>j<\/sub> de chaque valeur mesur\u00e9e doivent \u00eatre adapt\u00e9s \u00e0 la transformation.<\/p>\n

    R\u00e9f\u00e9rence compl\u00e9mentaire sur ce th\u00e8me<\/h4>\n\n\n\n
    [9.1]<\/td>\nW.\u2009H. Gr\u00e4nicher, Messung beendet\u00a0\u2013 was nun? Einf\u00fchrung und Nachschlagewerk f\u00fcr Planung und Auswertung von Messungen, <\/i>vdf Hochschulverlag AG an der ETH, Z\u00fcrich (1996)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    9.2.1 Cercle, sph\u00e8re et cylindre 9.2.2 Equation quadratique 9.2.3 Identit\u00e9s remarquables 9.2.4 Fonction lin\u00e9aire 9.2.5 Loi de puissance et fonctions puissances 9.2.6 Loi du logarithme, fonctions logarithmiques et exponentielles 9.2.7 Triangles et fonctions trigonom\u00e9triques 9.2.8 D\u00e9riv\u00e9es et int\u00e9grales 9.2.9 D\u00e9veloppements en s\u00e9ries 9.2.10 Produit vectoriel 9.2.11 Nombres complexes 9.2.12 Les mesures et leur exploitation D\u00e9j\u00e0 […]<\/p>\n","protected":false},"author":8,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[21],"tags":[],"class_list":["post-4103","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-annexes"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/enbau-online.ch\/bauphysik\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4103","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/enbau-online.ch\/bauphysik\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/enbau-online.ch\/bauphysik\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/enbau-online.ch\/bauphysik\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/users\/8"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/enbau-online.ch\/bauphysik\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=4103"}],"version-history":[{"count":3,"href":"https:\/\/enbau-online.ch\/bauphysik\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4103\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":5289,"href":"https:\/\/enbau-online.ch\/bauphysik\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4103\/revisions\/5289"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/enbau-online.ch\/bauphysik\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=4103"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/enbau-online.ch\/bauphysik\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=4103"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/enbau-online.ch\/bauphysik\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=4103"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}