{"id":3714,"date":"2018-08-06T10:56:57","date_gmt":"2018-08-06T08:56:57","guid":{"rendered":"https:\/\/enbau-online.ch\/bauphysik\/?p=3714"},"modified":"2019-08-16T15:46:34","modified_gmt":"2019-08-16T13:46:34","slug":"9-2-ausgewaehlte-mathematische-hilfsmittel","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/enbau-online.ch\/bauphysik\/9-2-ausgewaehlte-mathematische-hilfsmittel\/","title":{"rendered":"9.2 Ausgew\u00e4hlte mathematische Hilfsmittel"},"content":{"rendered":"

9.2.1 Kreis, Kugel und Kreiszylinder<\/h2>\n
<\/div>\n

9.2.2 Quadratische Gleichung<\/h2>\n
<\/div>\n

9.2.3 Binomische Formeln<\/h2>\n
<\/div>\n

9.2.4 Lineare Funktion und Geradengleichung<\/h2>\n
<\/div>\n

9.2.5 Potenzgesetze und Potenzfunktionen<\/h2>\n
<\/div>\n

9.2.6 Logarithmengesetze und Logarithmus-\/Exponentialfunktionen<\/h2>\n
<\/div>\n

9.2.7 Dreieck und Winkelfunktionen<\/h2>\n
<\/div>\n
<\/div>\n

<\/p>\n

<\/div>\n

9.2.8 Ableitung und Integrale<\/h2>\n
<\/div>\n

9.2.9 Reihenentwicklungen<\/h2>\n
<\/div>\n

9.2.10 Vektorprodukte<\/h2>\n
<\/div>\n

9.2.11 Komplexe Zahlen<\/h2>\n
<\/div>\n

9.2.12 Messungen und deren Auswertung<\/h2>\n

Bereits in der Phase der Planung von Messungen sind die Gesetzm\u00e4ssigkeiten der Fehlerrechnung beizuziehen und zu pr\u00fcfen, wie sich einzelne Unsicherheiten\/Fehlerbeitr\u00e4ge\u00a0\u2013 systematische wie zuf\u00e4llige\u00a0\u2013 auf die zu messende Gr\u00f6sse auswirken. Vor der Messung ist zu entscheiden, wo, wie und mit welchem Aufwand und Ziel Fehler verringert, wom\u00f6glich eliminiert werden k\u00f6nnen bzw. sollen.<\/p>\n

Zuf\u00e4llige Fehler<\/i><\/p>\n

Schwankungen von Messwerten als Folge von Zufallseffekten werden als zuf\u00e4llige Fehler (engl.: random errors) bezeichnet. Mit zuf\u00e4lligen Fehlern behaftete Messgr\u00f6ssen gehorchen im Allgemeinen einer Normal-(Gauss-)Verteilung.<\/p>\n

Mittlere Fehler einer Messgr\u00f6sse<\/i><\/p>\n

Eine Gr\u00f6sse \u00b5<\/i> werde n<\/i>-mal unter m\u00f6glichst gleichbleibenden Bedingungen gemessen, die n<\/i> Messwerte x<\/i>j<\/sub> (j<\/i> =\u202f1\u2009\u2026n<\/i>) stellen eine Stichprobe (engl.: sample) der Grundgesamtheit (engl.: population) dar. Nach Gauss ist der arithmetische Mittelwert x<\/i><\/i> (engl.: arithmetic average) die beste N\u00e4herung (auch Sch\u00e4tzwert, engl.: estimate, genannt) f\u00fcr den Erwartungswert \u00b5<\/i> (engl.: expectation value, auch wahrer Wert genannt):<\/p>\n

<\/p>\n

Die Standardabweichung s der Stichprobe<\/i> (ISO: experimental standard deviation) bzw. deren mittlerer Fehler betr\u00e4gt<\/p>\n

<\/p>\n

Sie charakterisiert die Genauigkeit des gew\u00e4hlten Messverfahrens und kann deshalb durch Wiederholungsmessungen nicht verbessert werden; dazu m\u00fcsste das Messverfahren ge\u00e4ndert werden.<\/p>\n

Hingegen l\u00e4sst sich die statistische Unsicherheit des Mittelwertes, sog. Standardabweichung des Mittelwertes s<\/i>m<\/sub> (ISO: experimental standard deviation of the mean) durch Wiederholung von Messungen verkleinern:<\/p>\n

<\/p>\n

sm<\/sub> ist ein Mass f\u00fcr die Abweichung zwischen Sch\u00e4tzwert x<\/i> und Erwartungswert \u00b5<\/i>.<\/p>\n

Bei kleiner Anzahl von Messungen<\/i> ist eine Normalverteilung meist schwer nachweisbar und die Absch\u00e4tzung des Erwartungswertes dementsprechend ungenau, sodass die G\u00fcte der Absch\u00e4tzung durch einen Vertrauensbereich <\/i>(engl.: range of confidence) um den arithmetischen Mittelwert charakterisiert werden muss:<\/p>\n

<\/p>\n

Der \u00ab\u200aVertrauensfaktor\u200a\u00bb t<\/i>P<\/sub> h\u00e4ngt von der Anzahl Wiederholungsmessungen n<\/i>w<\/sub> (Anzahl Messungen\u00a0N<\/i> minus Anzahl gesuchte Erwartungswerte k<\/i>) und der geforderten statistischen Sicherheit\u00a0P<\/i> (Sicherheit in %, dass der Vertrauensbereich den wahren Wert umfasst) ab:<\/p>\n

<\/div>\n

Fehlerfortpflanzung bei mehreren Messgr\u00f6ssen <\/i><\/p>\n

Kann eine physikalische Gr\u00f6sse f (x<\/i>, y<\/i>, z<\/i>,\u2009\u2026) nicht direkt, sondern nur \u00fcber Messungen der Teilgr\u00f6ssen x<\/i>, y<\/i>, z<\/i>,\u2009\u2026 bestimmt werden, so ist der wahrscheinlichste Wert gleich dem Funktionswert mit den Mittelwerten<\/p>\n

<\/p>\n

Die Standardabweichung s\u2013f<\/sub><\/i> der Gr\u00f6sse f<\/i> berechnet sich nach dem Gauss\u200a\u2019schen Fehlerfortpflanzungsgesetz zu:<\/p>\n

<\/p>\n

Mit Hilfe der absoluten bzw. relativen maximalen <\/i>Fehler der Teilgr\u00f6ssen l\u00e4sst sich die Gr\u00f6ssenordnung des Fehlers in einer ersten Phase meistens einfacher absch\u00e4tzen, jedoch erh\u00e4lt man so nur eine Aussage \u00fcber den Maximalfehler <\/i>(Fehlerschranken):<\/p>\n

<\/div>\n

Systematische Fehler<\/i><\/p>\n

Diese Art Messfehler (engl.: systematic error), die trotz variierten Messbedingungen immer wieder gleiche Werte\u00a0\u2013 sowohl bez\u00fcglich Gr\u00f6sse wie Vorzeichen\u00a0\u2013 ergeben, lassen sich durch Wiederholung weder erkennen noch verringern bzw. eliminieren. Sie lassen sich allenfalls durch \u00c4nderung der Messmethode korrigieren.<\/p>\n

Liegt neben den zuf\u00e4lligen Fehlern eine systematische Messunsicherheit vor, so ist als Gesamt-Messunsicherheit einer Teilmessung die Summe der entsprechenden Unsicherheiten anzugeben.<\/p>\n

F\u00fcr eine Funktion f =\u202ff (x<\/i>, y<\/i>, z<\/i>,\u2009\u2026), deren Teilgr\u00f6ssen mit systematischen Fehlern h<\/i>j<\/sub> (j<\/i> = x<\/i>, y<\/i>, z<\/i>,\u2009\u2026) behaftet sind, pflanzen sich die Fehler wie folgt fort:<\/p>\n

<\/p>\n

Im Gegensatz zu den Zufallsfehlern, wo sich die Quadrate der Beitr\u00e4ge der Messgr\u00f6ssen wie orthogonal stehende Vektoren addieren, sind systematische Fehlerbeitr\u00e4ge algebraisch zu addieren.<\/p>\n

Ausgleichung bei funktionalen Zusammenh\u00e4ngen (Regressionsanalyse)<\/i><\/p>\n

Wird ein linearer <\/i>Zusammenhang y<\/i> =\u202fax<\/i> + b<\/i> zwischen der Messvariablen x<\/i> und der Messgr\u00f6sse y<\/i> erwartet, so lassen sich die Parameter Steigung (a) und Achsenabschnitt (b) durch Ausgleichung nach dem Prinzip der kleinsten Quadrate<\/i> (engl.: least square) bestimmen:<\/p>\n

<\/div>\n

Oft l\u00e4sst sich eine nicht lineare<\/i> funktionale Beziehung durch geeignete Variablentransformation <\/i>linearisieren:<\/p>\n

    \n
  • Exponentialfunktionen durch einfach-logarithmische Darstellung (y<\/i> \u2192 lny<\/i>)<\/li>\n
  • Potenzfunktionen durch doppelt-logarithmische Darstellung (x<\/i> \u2192 logx<\/i> und y<\/i> \u2192 logy<\/i>)<\/li>\n<\/ul>\n

    Dabei gilt es zu beachten, dass allf\u00e4llige Gewichte g<\/i>j<\/sub> der einzelnen Messwerte entsprechend der Transformation anzupassen sind.<\/p>\n

    Weiterf\u00fchrende Literatur zum Thema<\/i><\/p>\n

    W.\u2009H. Gr\u00e4nicher, Messung beendet\u00a0\u2013 was nun? Einf\u00fchrung und Nachschlagewerk f\u00fcr Planung und Auswertung von Messungen,<\/i> vdf Hochschulverlag AG an der ETHZ, Z\u00fcrich (1996)<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    9.2.1 Kreis, Kugel und Kreiszylinder 9.2.2 Quadratische Gleichung 9.2.3 Binomische Formeln 9.2.4 Lineare Funktion und Geradengleichung 9.2.5 Potenzgesetze und Potenzfunktionen 9.2.6 Logarithmengesetze und Logarithmus-\/Exponentialfunktionen 9.2.7 Dreieck und Winkelfunktionen 9.2.8 Ableitung und Integrale 9.2.9 Reihenentwicklungen 9.2.10 Vektorprodukte 9.2.11 Komplexe Zahlen 9.2.12 Messungen und deren Auswertung Bereits in der Phase der Planung von Messungen sind die Gesetzm\u00e4ssigkeiten […]<\/p>\n","protected":false},"author":8,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[17],"tags":[],"class_list":["post-3714","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-anhang"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/enbau-online.ch\/bauphysik\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3714","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/enbau-online.ch\/bauphysik\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/enbau-online.ch\/bauphysik\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/enbau-online.ch\/bauphysik\/wp-json\/wp\/v2\/users\/8"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/enbau-online.ch\/bauphysik\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3714"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/enbau-online.ch\/bauphysik\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3714\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":5214,"href":"https:\/\/enbau-online.ch\/bauphysik\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3714\/revisions\/5214"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/enbau-online.ch\/bauphysik\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3714"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/enbau-online.ch\/bauphysik\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3714"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/enbau-online.ch\/bauphysik\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3714"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}